² El SEÑOR miró desde los cielos sobre los hijos de los hombres, por ver si había algún entendido, que buscara a Dios.

I. CONCEPTO

La Simulación de Monte Carlo es una técnica que permite llevar a cabo la valoración de los proyectos de inversión considerando que una, o varias, de las variables que se utilizan para la determinación de los flujos netos de caja no son variables ciertas, sino que pueden tomar varios valores. Por tanto, se trata de una técnica que permite introducir el riesgo en la valoración de los proyectos de inversión.

La técnica de la simulación de Monte Carlo se basa en simular la realidad a través del estudio de una muestra, que se ha generado de forma totalmente aleatoria. Resulta, por tanto, de gran utilidad en los casos en los que no es posible obtener información sobre la realidad a analizar, o cuando la experimentación no es posible, o es muy costosa. Así, permite tener en cuenta para el análisis un elevado número de escenarios aleatorios, por lo que, se puede decir que hace posible llevar la técnica del análisis de escenarios al infinito ampliando la perspectiva de los escenarios posibles.
De esta forma, se pueden realizar análisis que se ajusten en mayor medida a la variabilidad real de las variables consideradas.

La aplicación de esta técnica se basa en la identificación de las variables que se consideran más significativas, así como las relaciones existentes entre ellas (aunque esto puede resultar realmente complejo), para explicar la realidad a estudiar mediante la sustitución del universo real, por un universo teórico utilizando números aleatorios.

La simulación de Monte Carlo data del año 1940, cuando Neuman y Ulam la aplicaron en el campo de la experimentación de armas nucleares. A partir de entonces, se ha demostrado que es una técnica que puede ser aplicada en campos de diversa índole, utilizándose por primera vez para el análisis de inversiones en el año 1964 por Hertz. Hay algunas aplicaciones informáticas específicas, como es el caso del programa "@Risk" de Palisade, o el "Cristal Bowl", que permiten tener en cuenta la correlación existente entre las variables, y realizar el análisis del riesgo en la valoración de proyectos de inversión utilizando la simulación de Monte Carlo.

La aplicación del método de Monte Carlo para valorar inversiones plantea dos aspectos fundamentales; la estimación de las variables y la determinación del tamaño de la muestra.

Para la aplicación de la simulación de Monte Carlo se han de seguir los siguientes pasos:

• - En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, siendo en el caso de la valoración de proyectos de inversión los más habituales el Valor Actual Neto (VAN), y la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Según el valor obtenido para estos métodos de valoración se tomará la decisión de si el proyecto es rentable y se lleva a cabo, o no.

• - A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular (x). Es decir, aquellas que se consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, así como las relaciones que existen entre ellas (por lo que sería deseable definir los coeficientes de correlación existentes entre las variables (posibilidad que ofrece el programa "@Risk"). Si no se tuvieran en cuenta dichas interrelaciones, y se simularan las variables de forma independiente, se estaría incurriendo en un error en los resultados obtenidos, y se reduciría la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de compensación en la interacción de las variables.
•  
• - Una vez identificadas las variables que se van a simular, hay que determinar la función de densidad de probabilidad f(x) asociada a cada una de ellas.
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• - Posteriormente, se obtendrán las funciones de distribución asociadas a las variables (o variable).
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• - A continuación se procede a la generación de números aleatorios (números tomados al azar) comprendidos entre cero y uno. Estos números pueden obtenerse utilizando un ordenador, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el número de simulaciones que se deseen realizar.
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• - Una vez se dispone de los números aleatorios, éstos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribución F(x) de las variables (o la variable) del modelo.
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• - El valor así calculado de "x" será el primer valor de la muestra simulada.
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• - Este proceso habrá de repetirse el número de veces necesario para poder disponer del número adecuado de valores muéstrales.
•  
• - A continuación, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemático para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas. En el caso del análisis de proyectos de inversión en los que se utiliza como método de valoración el VAN, hay que tener en cuenta que la tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo, porque en caso contrario se estaría penalizando doblemente al proyecto de inversión, tanto en el numerador como en el denominador por el riesgo. No obstante, en contra de esta posición que es la que se utiliza habitualmente en la práctica empresarial, se encuentra la de los autores Brealey y Myers, quienes limitan la utilidad de la simulación de Monte Carlo a la mejor estimación de los flujos netos de caja, y proponen aplicar para el descuento de los mismos la tasa de descuento ajustada por el riesgo, y no la tasa libre de riesgo, porque consideran que hay un único VAN.
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• - Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan por categorías de resultados.
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• - Para finalizar, se lleva a cabo el análisis estadístico y de inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo interesante calcular la media, la varianza y la desviación típica. Por ejemplo, en la valoración de proyectos de inversión, es habitual llevar a cabo el análisis de la viabilidad de un proyecto de inversión analizando la probabilidad de que el Valor Actual Neto (VAN) sea positivo (P(VAN>0)), así como el análisis de sensibilidad con el objetivo de identificar aquellas variables que son consideradas críticas por tener mayor impacto sobre el VAN.

Para determinar el tamaño de la muestra, se empezará utilizando un número no demasiado elevado de simulaciones, que se sustituirán en el modelo matemático seleccionado, y se calculará la media y la desviación típica correspondiente al mismo. A continuación, se irá ampliando el tamaño de la muestra hasta que la media y la desviación típica no varíen significativamente en relación con los resultados obtenidos con la muestra anterior.
Se pueden aplicar dos procedimientos:

• - Procedimiento aditivo: se parte de un número inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizado. A continuación se procede a añadir un número de nuevas simulaciones equivalente al bloque inicial (n), de tal forma que ahora se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizando para ello un número de simulaciones que asciende a "2n". La nueva media y desviación típica así calculadas se comparan con las anteriores, repitiéndose el proceso hasta que la media y la desviación típica no diverjan en más de un 0,5 ó 1 por ciento. El inconveniente que presenta este método es que según se van añadiendo nuevos bloques de simulaciones, las simulaciones antiguas tienen mayor peso que las nuevas.

• - Procedimiento multiplicativo: se parte de un número inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizado. A continuación se procede a añadir un número de nuevas simulaciones equivalente a las acumuladas hasta ese momento, de tal forma que ahora se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizando para ello un número de simulaciones que es el doble de las utilizadas en el paso anterior. La nueva media y desviación típica así calculadas se comparan con las anteriores, repitiéndose el proceso hasta que la media y la desviación típica no diverjan en más de un 0,5 ó 1 por ciento. De esta forma se soluciona el inconveniente presentado por el procedimiento anterior, dado que los nuevos bloques de simulaciones que se van agregando tienen el mismo peso que el existente en el paso anterior, por lo que la variabilidad del nuevo bloque de simulaciones tiene el mismo peso sobre el total que la del bloque anterior, siendo por tanto en un método más perfecto.

Una empresa está analizando la posibilidad de llevar a cabo un proyecto de inversión que requiere una inversión inicial que puede oscilar entre los 10.000 y los 14.000 euros, siendo las probabilidades asociadas a cada uno de los posibles desembolsos iniciales las que aparecen recogidas en la siguiente tabla:

Desembolso inicial	Probabilidad
10.000 €	0,20
12.000 €	0,45
14.000 €	0,35

Además, se sabe que la duración del proyecto de inversión es de 4 años.
Se estima que el valor del primer flujo neto de caja puede tomar cualquier valor comprendido entre los 5.000 y los 9.000 euros, siendo equiprobables los valores intermedios. Los flujos netos de caja que se generan en los años sucesivos podrán oscilar entre un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja del año anterior. Además, se sabe que la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 10 por ciento.
Con estos datos se desea conocer la viabilidad del proyecto de inversión analizado según el método de valoración del Valor Actual Neto (VAN), utilizando para ello la técnica de simulación de Monte Carlo realizando un total de cinco simulaciones.
Solución:
- En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, que en este caso será el Valor Actual Neto (VAN).
Por tanto: donde i = 1...4
La tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo (10 por ciento).
- A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular.
En este caso las variables que se van a simular son tres:

•  
• • El desembolso inicial del proyecto de inversión.
•  
• • El valor del primer flujo neto de caja.
•  
• • El valor del resto de flujos netos de caja.

- Posteriormente hay que determinar la función de densidad de probabilidad asociada a cada una de ellas.
- El desembolso inicial del proyecto de inversión: se trata de una variable discreta que sólo puede tomar los valores 10.000, 12.000 y 14.000, con unas probabilidades asociadas respectivamente del 20, 45 y 35 por ciento. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente:
- El valor del primer flujo neto de caja: se trata de una variable continúa que puede tomar cualquier valor comprendido entre 5.000 y 9.000 euros, siendo cualquier valor intermedio comprendido entre dicho mínimo y máximo equiprobable, por lo que sigue una distribución uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente:
- El resto de flujos netos de caja: son variables continúas cuyos valores pueden oscilar entre un 15 por ciento por encima o por debajo del valor del flujo neto de caja inmediatamente anterior, por lo que también siguen una distribución uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representación gráfica de su función de densidad es la siguiente:
- El siguiente paso consiste en obtener las funciones de distribución asociadas a las variables.
- Para el desembolso inicial del proyecto de inversión, la función de distribución viene dada por la probabilidad acumulada, de tal forma que:

Desembolso inicial	Probabilidad	Probabilidad Acumulada
10.000 €	0,20	0,20
12.000 €	0,45	0,65
14.000 €	0,35	1,00

Representación gráfica:
- Para el valor del primer flujo neto de caja, al seguir una distribución uniforme o rectangular, la representación gráfica de su función de distribución de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente:
- Para el valor del resto de flujos netos de caja, al seguir también una distribución uniforme o rectangular, la representación gráfica de su función de distribución de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente:
- A continuación se procede a la generación de números aleatorios comprendidos entre cero y uno, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el número de simulaciones que se deseen realizar.

• • Para el desembolso inicial del proyecto de inversión se necesitan cinco números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,22; 0,62; 0,81; 0,07 y 0,45.
• • Para el valor del primer flujo neto de caja se necesitan también cinco números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,21; 0,03; 0,12; 0,80 y 0,66.
• • Para el valor del resto de flujos netos de caja se necesitan 15 números aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,10; 0,43; 0,17; 060; 0,05; 0,18; 0,38; 0,39; 0,72; 0,12; 0,66; 0,97; 0,48; 0,56 y 0,25.

- Una vez se dispone de los números aleatorios, éstos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribución. De tal forma que el valor así calculado para cada variable será el valor de la muestra simulada. Este proceso debe repetirse el número de veces necesario para poder disponer del número adecuado de valores muestrales, en este caso, cinco veces.
- Para el desembolso inicial del proyecto de inversión, cada número aleatorio se lleva sobre la columna de la probabilidad acumulada, obteniéndose así el desembolso inicial simulado.
- Para la primera simulación el número aleatorio generado ha sido 0,22; número que está comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la primera simulación sería de 12.000 euros.
- Para la segunda simulación el número aleatorio generado ha sido 0,62; número que está comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la segunda simulación sería de 12.000 euros.
- Para la tercera simulación el número aleatorio generado ha sido 0,81; número que está comprendido entre 0,65 y 1,00; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la tercera simulación sería de 14.000 euros.
- Para la cuarta simulación el número aleatorio generado ha sido 0,07; número que está comprendido entre 0,00 y 0,20; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la cuarta simulación sería de 10.000 euros.
- Para la quinta simulación el número aleatorio generado ha sido 0,45; número que está comprendido entre 0,20 y 0,45; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversión para la quinta simulación sería de 12.000 euros.
Los resultados obtenidos para el valor del desembolso inicial para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:

Simulación	Número aleatorio	Desembolso inicial simulado
Primera	0,22	12.000
Segunda	0,62	12.000
Tercera	0,81	14.000
Cuarta	0,07	10.000
Quinta	0,45	12.000

- Para el valor del primer flujo neto de caja se procede a proyectar horizontalmente los números aleatorios sobre la correspondiente función de distribución, debiéndose calcular, en este caso, la ecuación de la recta correspondiente.
Al seguir el flujo neto de caja asociado al primer año una distribución rectangular o uniforme se proyectan los números aleatorios generados sobre la recta (es posible calcular su ecuación dado que tenemos dos puntos: (5.000,0) y (9.000,1)) y se despeja el valor de la variable "x" (FNC1), de tal forma que:
Así, para el caso del primer número aleatorio obtenido (0,21) se sustituye en la ecuación anterior en la variable "y", obteniéndose el valor de la variable "x" (flujo de caja asociado al primer año) para la primera simulación, siendo:
FNC₁ = 4.000 x (0,21) + 5.000 = 5.828,48 €
Gráficamente:
El proceso se repetirá tantas veces como simulaciones sean necesarias, en este caso cinco veces.
Segunda simulación: FNC₁ = 4.000 x (0,03) + 5.000 = 5.129,28 €
Tercera simulación: FNC₁ = 4.000 x (0,12) + 5.000 = 5.491,59 €
Cuarta simulación: FNC₁ = 4.000 x (0,80) + 5.000 = 8.185,57 €
Quinta simulación: FNC₁ = 4.000 x (0,66) + 5.000 = 7.623,24 €
Los resultados obtenidos para el valor del flujo neto de caja asociado al primer año para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:

Simulación	Número aleatorio	FNC1
Primera	0,21	5.828,48
Segunda	0,03	5.129,28
Tercera	0,12	5.491,59
Cuarta	0,80	8.185,57
Quinta	0,66	7.623,24

- Para el valor del resto de flujos netos de caja se procede de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que el valor del correspondiente flujo neto de caja podrá estar un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja estimado para el año anterior. De tal forma que:
FNC_i-1 x (1-0,15) ≤ FNC_i ≤ FNC_i-1 x (1+0,15)
Donde i = 2, 3 y 4.
En este caso, las variables también siguen una distribución rectangular o uniforme, siendo la ecuación de la recta:
Es decir: FNC_i = 0,3 x FNC_i-1 x y + 0,85 x FNC_i-1
Por tanto: FNC_i = FNC_i-1 x (0,3 x y + 0,85)
Para la primera simulación, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer año era de 5.828,48 €, por tanto:
FNC₂ = FNC₁ x (0,3 x y + 0,85) = 5.828,48 x (0,3 x 0,10 + 0,85) = 5.128,27 €
FNC₃ = FNC₂ x (0,3 x y + 0,85) = 5.128,27 x (0,3 x 0,43 + 0,85) = 5.022,55 €
FNC₄ = FNC₃ x (0,3 x y + 0,85) = 5.022,55 x (0,3 x 0,17 + 0,85) = 4.521,04 €
Para la segunda simulación, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer año era de 5.129,28 €, por tanto:
FNC₂ = FNC₁ x (0,3 x y + 0,85) = 5.129,28 x (0,3 x 0,60 + 0,85) = 5.276,87 €
FNC₃ = FNC₂ x (0,3 x y + 0,85) = 5.276,87 x (0,3 x 0,05 + 0,85) = 4.570,43 €
FNC₄ = FNC₃ x (0,3 x y + 0,85) = 4.570,43 x (0,3 x 0,18 + 0,85) = 4.137,41 €
El procedimiento se repetirá con las cinco simulaciones. Los resultados obtenidos aparecen recogidos en la tabla siguiente:

Simulación	Número aleatorio	FNC2	Número aleatorio	FNC3	Número aleatorio	FNC4
Primera	0,10	5.128,27	0,43	5.022,55	0,17	4.521,04
Segunda	0,60	5.276,87	0,05	4.570,43	0,18	4.137,41
Tercera	0,38	5.296,20	0,39	5.116,14	0,72	5.449,19
Cuarta	0,12	7.258,62	0,66	7.597,00	0,97	8.677,76
Quinta	0,48	7.573,52	0,56	7.706,29	0,25	7.132,44

- A continuación, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemático, que en este caso es el VAN, para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas.
Primera simulación:
Segunda simulación:
Tercera simulación:
Cuarta simulación:
Quinta simulación:
Los resultados obtenidos para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:

Simulación	FNC0	FNC1	FNC2	FNC3	FNC4	VAN
Primera	-12.000,00	5.828,48	5.128,27	5.022,55	4.521,04	4.398,30 €
Segunda	-12.000,00	5.129,28	5.276,87	4.570,43	4.137,41	3.283,77 €
Tercera	-14.000,00	5.491,59	5.296,20	5.116,14	5.449,19	2.935,09 €
Cuarta	-10.000,00	8.185,57	7.258,62	7.597,00	8.677,76	15.075,05 €
Quinta	-12.000,00	7.623,24	7.573,52	7.706,29	7.132,44	11.850,73 €

- En las cinco simulaciones realizadas el valor del VAN es positivo, siendo el valor del VAN medio de 7.508,59 euros, por lo que interesaría llevar a cabo el proyecto de inversión