Modelos
Teóricos e Ideales sobre la Distribución de la Probabilidad:
Cuando en un juego de azar se realizan
sucesivamente numerosas jugadas o cuando en un «experimento imperfecto» se
realizan numerosos ensayos consecutivos, entonces se observa que los resultados
o los eventos posibles que pueden aparecer en esos juegos de azar o en esos
experimentos ocurren de cierta manera que es catalogada como «Aleatoria» (más
bien de manera accidental, compleja o bajo grados de incertidumbre que no
permiten anticipar el resultado dentro de los postulados de la ciencia
determinista), y además esos resultados o eventos pueden adoptar una
determinada Frecuencia o Distribución de ocurrencia y de repetición a lo largo
de una serie larga de jugadas o ensayos.
Los científicos no se conforman con
registrar, medir y describir ese tipo de Aleatoriedad empírica que puede
observarse en los resultados que producen los juegos de azar o los experimentos
imperfectos que transcurren en el mundo real, y por eso desde el mundo
abstracto de las matemáticas siempre han propuesto el uso de unos Modelos
Teóricos que permiten representar de forma ideal las diversas maneras como
los distintos resultados de un juego de azar o de un experimento imperfecto
deben aparecer o distribuirse a lo largo de una serie larga de ensayos o
jugadas, y esos modelos ideales propuestos sobre la manera como se debe
distribuir la aleatoriedad de los resultados aparecidos en una serie larga de
ensayos son una herramienta muy útil para hacer un mejor acercamiento
descriptivo al real comportamiento de los juegos de azar o de los experimentos
imperfectos.
En otras palabras, los modelos teóricos
propuestos sobre las diversas maneras como se debería distribuir la ocurrencia
de los resultados de un juego de azar o de un experimento imperfecto son una
especie de límite ideal construido en el mundo de las matemáticas, que sirve
como un patrón o un arquetipo para describir la probabilidad de ocurrencia que
pueden tener los numerosos resultados posibles de un juego de azar o de un experimento
imperfecto, los cuales al ser agrupados en una serie larga de ensayos
consecutivos conforman una especie de Población o Muestra que también puede ser
analizada desde la óptica de la estadística. A esos modelos teóricos o límites
ideales sobre la forma de ocurrencia de los resultados aleatorios se les conoce
como «Distribuciones de Probabilidad», pues esos modelos ideales a
partir de ciertos datos o parámetros conocidos permiten establecer cierta
distribución en la ocurrencia o la repetición de los distintos resultados o
eventos que puede arrojar un juego de azar o un experimento imperfecto, y al
establecer esa distribución simultáneamente introducen la distribución de las
probabilidades matemáticas de ocurrencia que le corresponde a cada resultado o evento
posible, los cuales al ser agrupados con otros resultados o eventos aleatorios
similares forman una Población o Muestra que puede ser analizada desde la
óptica estadística.
En síntesis, una distribución de
probabilidad es un modelo teórico e ideal que, condicionado bajo ciertos datos
o parámetros conocidos, sirve para representar la distribución de la
probabilidad de ocurrencia que le corresponde a los distintos eventos o
resultados aleatorios posibles que conforman una Población o Muestra analizada. Esto implica que no se debe perder de
vista que todo modelo teórico no es más que una simplificación ideal de la
realidad, y por tanto al trabajar con una determinada distribución de la
probabilidad hay que tener en cuenta si la misma modela o no de forma correcta
y aproximada el verdadero comportamiento aleatorio de los diferentes fenómenos
que ocurren en el mundo real.
Variables Aleatorias Discretas y Variables Aleatorias Continuas:
Cuando matemáticamente se establece la
existencia de una Población conformada por numerosos eventos posibles,
aleatorios e independientes entre sí, entonces se afirma que una variable X
es aleatoria si dentro de esa Población puede adoptar cualquier valor de los
numerosos eventos que la conforman, lo cual también implica que la variable
asume la respectiva probabilidad de ocurrencia existente para el evento
adoptado. En este caso se dice que la Variable es Aleatoria porque su
valor no es fijo ni conocido de antemano, sino que puede variar aleatoriamente
en función a la manera como se distribuye la probabilidad de ocurrencia de los
eventos dentro de esa Población analizada.
Al
respecto en el campo del Cálculo de Probabilidades y en el campo de la
Estadística se señala que existen dos tipos de Variables Aleatorias bien
diferenciadas: las Variables Aleatorias Continuas y las Variables Aleatorias
Discretas. Ambas implícitamente hacen referencia a dos modelos ideales
distintos sobre la forma como se puede distribuir la probabilidad de ocurrencia
de los eventos aleatorios.
Así, si en una Población de eventos se
analiza una característica que al ser medida puede asumir infinitos valores
intermedios ubicados entre cada valor entero significativo de la escala
numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que la Variable Aleatoria X
es Continua, porque en tal caso X puede asumir cualquiera de esos
infinitos valores que se agrupan formando necesariamente un intervalo numérico
continuo. Por ejemplo, en una ciudad cualquiera puede ser desconocida la manera
como está distribuida la talla corporal entre todos sus habitantes, y en tal
caso la variable X siempre será continua, ya que si se hace una medición
exacta de la talla de algunos habitantes de la ciudad seleccionados al azar,
entonces X podrá asumir infinitos valores ubicados en un intervalo
numérico: un habitante puede medir 1.700 milímetros, otro puede medir 1.700,22
milímetros, otro quizá mida 1.700,51 milímetros, y otro 1.700,99 milímetros, etc. La variable X también es
continua cuando se miden fenómenos tales como la cantidad de voltaje que
consume un aparato, la cantidad de radiación que desprende un material
radiactivo, la temperatura del medioambiente, la cantidad de lluvia o de nieve
que caen en una región, el tiempo que necesita cada persona para completar una
tarea, etc., porque en todos estos casos las mediciones de la variable no
necesariamente adoptan valores enteros significativos (1, 2, 3, 4 ...
etc.), sino que generalmente asumen los infinitos valores intermedios de un
intervalo continuo: 1,145 ...1,502 ...1,666 ... 1,786...etc.
En cambio, si en una Población de
eventos se analiza una característica que al ser medida sólo puede asumir un
conjunto finito de valores enteros significativos de la escala numérica (1, 2,
3, 4 ... etc.), entonces se dice que la Variable Aleatoria X es Discreta,
porque en tal caso X sólo puede asumir valores numéricos aislados que se
agrupan de forma escalonada y sin formar un solo intervalo continuo. Por
ejemplo, en un ciudad cualquiera puede ser desconocida la manera como está
distribuida la cantidad de hijos que tiene cada familia, y en este caso la
variable X siempre será discreta, pues cada familia sólo puede tener 0,
1, 2, 3 o más hijos hasta llegar a cierto número entero finito, y por tanto la
variable X sólo puede adoptar cualquiera de esos valores enteros
finitos, pues en este caso resultaría absurdo e imposible afirmar que una
familia puede tener «infinitas fracciones de hijos»: por ejemplo, tener 0,0002
hijos, o tener 1,23 hijos, o tener 2,08 hijos, o tener 6,26 hijos, o tener 3/4 de
hijo, etc. La variable X también es discreta cuando se miden fenómenos tales
como el número de nacimientos o de defunciones que ocurren anualmente, o el
número de libros sobre la temática de la superación personal que hay en una
biblioteca, o el número de televisores encendidos en los hogares de una ciudad
a las 7:00 p.m., o la cantidad de personas que en un supermercado prefieren
adquirir el producto Y en vez del producto Z, etc., porque en
todos estos casos las mediciones de la variable X necesariamente adoptan
valores enteros significativos y escalonados: 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... etc.
Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Continua:
Cuando una Población analizada está
conformada por eventos aleatorios que al ocurrir pueden adoptar infinitos valores
intermedios ubicados entre cada valor entero significativo de la escala
numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que el comportamiento
aleatorio de esa Población se rige por un modelo ideal de Distribución de
Probabilidad Continua. Esto equivale a que los valores de la probabilidad de
ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa Población al ser
representados en un plano de coordenadas cartesianas siempre aparecerán unidos
entre sí formando una línea continua (generalmente curva). En otras
palabras, si en un plano de coordenadas cartesianas se ha representado una
Distribución de Probabilidad Continua, que implica que la variable X
puede adoptar cualquiera de los infinitos valores de los intervalos ubicados
sobre el eje horizontal, entonces eso equivale a que la probabilidad de
ocurrencia de la variable X también puede corresponder a cualquiera de
los infinitos valores numéricos existentes entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente
Probable), así: 0,000001, o 0,000123, o 0,002345, o 0,060987, o 0,111111, o
0,398754, o 0,609821, o 0,999999, etc.
Como se observa en la anterior imagen,
cuando se trata de una Distribución de Probabilidad Continua generalmente su
representación gráfica corresponde a una línea curva continua, como ocurre con
la denominada Campana de Gauss que sirve para representar la probabilidad de
una variable aleatoria dentro de la denominada Distribución Normal de
Probabilidad.
La anterior gráfica muestra que en una
Distribución de Probabilidad Continua la variable aleatoria X puede
adoptar infinitos valores sobre el eje horizontal, y por eso los valores
correspondientes a la probabilidad de ocurrencia de X se representan
mediante una línea curva continua como la de color verde que aparece en la
gráfica. Si sobre el eje horizontal del gráfico la variable aleatoria X
puede adoptar un determinado valor ubicado en el intervalo sombreado
comprendido entre los puntos a y b, entonces la Distribución de
Probabilidad Continua permite determinar con exactitud cuál es el respectivo
valor de la probabilidad de ocurrencia que le corresponde a X dentro de
ese intervalo delimitado por la línea curva continua de color verde, valor de
probabilidad que siempre corresponderá a cualquiera de los infinitos valores
ubicados entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable).
Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Discreta:
Cuando una Población analizada está
conformada por eventos aleatorios que al ocurrir sólo pueden adoptar valores
enteros y significativos de la escala numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces
se dice que el comportamiento aleatorio de esa Población se rige por un modelo
ideal de Distribución de Probabilidad Discreta. Esto equivale a que los valores
de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa
Población al ser representados en un plano de coordenadas cartesianas siempre
aparecerán separados entre sí, de manera escalonada o con saltos entre un
valor y el otro, sin formar una línea continua. En otras palabras, si en un
plano de coordenadas cartesianas se representa una Distribución de Probabilidad
Discreta, que implica que la variable X sólo puede adoptar cualquiera de
los valores enteros y significativos ubicados sobre el eje horizontal de la
gráfica, entonces eso equivale a que la respectiva probabilidad de ocurrencia
de la variable X sólo puede corresponder a un único valor existente
entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable).
Diversos modelos ideales de Distribución de la Probabilidad:
Como ya se dijo al comienzo, una de las
principales preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos ideales
o teóricos de distribuciones de la probabilidad que puedan representar de forma
aproximada el comportamiento de los diferentes fenómenos aleatorios que ocurren
en el mundo real. Es por eso que existen varios modelos ideales de distribución
de la probabilidad para asignarle valores de ocurrencia tanto a las variables
discretas como a las variables continuas, y todos esos modelos intentan
describir en términos matemáticos cómo es el «comportamiento aleatorio ideal»
de esas variables dentro de los numerosos resultados que pueden arrojar
determinados procesos o fenómenos físicos considerados aleatorios, ya sean
procesos naturales o procesos artificialmente creados por el ser humano (lo que
implica abarcar fenómenos espontáneos de la Naturaleza, los experimentos
imperfectos de laboratorio, los juegos de azar, las máquinas tragamonedas,
etc.).
Cada modelo ideal de Distribución de la
Probabilidad se diferencia entonces no sólo por el tipo de fórmula que la
define, sino además por el tipo de variables que puede emplear (discretas o
continuas), por las condiciones o parámetros que usa para asignar la
probabilidad de ocurrencia a cada variable, y por el tipo de fenómenos
aleatorios del mundo real que idealmente pretende describir de la manera más
aproximada posible. Así, entre las distribuciones de probabilidad propuestas
para las variables discretas, las más importantes son: la Distribución Uniforme
Discreta, la Distribución Binomial o de Bernoulli, la Distribución Binomial
Negativa, la Distribución Geométrica, la Distribución Hipergeométrica y la
Distribución Poisson. Y en el caso de las distribuciones de probabilidad
propuestas para las variables continuas, las más importantes son: la
Distribución Normal (o distribución de Gauss), la Distribución Uniforme
Continua, la Distribución Gamma, la Distribución Beta, la Distribución Weibull,
la Distribución Cauchy, la Distribución Exponencial, la Distribución LogNormal,
la Distribución T-Student, la Distribución F de Snedecor y la Distribución
Chi-Cuadrado.
Entender y aplicar una Distribución de Probabilidad no representa mayor complicación actualmente. En efecto, desde mediados de los años 80’s proliferan diferentes tipos de hojas de cálculo para los PC que permiten en cuestión de segundos calcular el valor de probabilidad de una variable discreta o de una variable continua dentro de una determinada distribución de probabilidad (Weibull, Beta, Binomial, Chi−Cuadrado, Exponencial, Gamma, etc.). En el caso de la hoja de cálculo Excel de Microsoft, ésta incluye guías y tutoriales de ayuda que le permiten al usuario calcular fácilmente el valor probable de una variable dentro de distintas distribuciones de probabilidad discreta o distribuciones de probabilidad continua. Estas hojas de cálculo constituyen una importante herramienta matemática para el jugador profesional y le permiten procesar estadísticamente en cuestión de segundos las series de resultados recolectados respecto de una determinada mesa de juego, para así calcular fácilmente cuáles son las probabilidades de ganancia existentes al apostarle a la expectativa de que un determinado comportamiento global del juego se mantendrá en las jugadas futuras.
No hay comentarios: