jueves, noviembre 10, 2016

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN JUEGOS DE AZAR.

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Modelos Teóricos e Ideales sobre la Distribución de la Probabilidad:

Cuando en un juego de azar se realizan sucesivamente numerosas jugadas o cuando en un «experimento imperfecto» se realizan numerosos ensayos consecutivos, entonces se observa que los resultados o los eventos posibles que pueden aparecer en esos juegos de azar o en esos experimentos ocurren de cierta manera que es catalogada como «Aleatoria» (más bien de manera accidental, compleja o bajo grados de incertidumbre que no permiten anticipar el resultado dentro de los postulados de la ciencia determinista), y además esos resultados o eventos pueden adoptar una determinada Frecuencia o Distribución de ocurrencia y de repetición a lo largo de una serie larga de jugadas o ensayos.
Los científicos no se conforman con registrar, medir y describir ese tipo de Aleatoriedad empírica que puede observarse en los resultados que producen los juegos de azar o los experimentos imperfectos que transcurren en el mundo real, y por eso desde el mundo abstracto de las matemáticas siempre han propuesto el uso de unos Modelos Teóricos que permiten representar de forma ideal las diversas maneras como los distintos resultados de un juego de azar o de un experimento imperfecto deben aparecer o distribuirse a lo largo de una serie larga de ensayos o jugadas, y esos modelos ideales propuestos sobre la manera como se debe distribuir la aleatoriedad de los resultados aparecidos en una serie larga de ensayos son una herramienta muy útil para hacer un mejor acercamiento descriptivo al real comportamiento de los juegos de azar o de los experimentos imperfectos.
En otras palabras, los modelos teóricos propuestos sobre las diversas maneras como se debería distribuir la ocurrencia de los resultados de un juego de azar o de un experimento imperfecto son una especie de límite ideal construido en el mundo de las matemáticas, que sirve como un patrón o un arquetipo para describir la probabilidad de ocurrencia que pueden tener los numerosos resultados posibles de un juego de azar o de un experimento imperfecto, los cuales al ser agrupados en una serie larga de ensayos consecutivos conforman una especie de Población o Muestra que también puede ser analizada desde la óptica de la estadística. A esos modelos teóricos o límites ideales sobre la forma de ocurrencia de los resultados aleatorios se les conoce como «Distribuciones de Probabilidad», pues esos modelos ideales a partir de ciertos datos o parámetros conocidos permiten establecer cierta distribución en la ocurrencia o la repetición de los distintos resultados o eventos que puede arrojar un juego de azar o un experimento imperfecto, y al establecer esa distribución simultáneamente introducen la distribución de las probabilidades matemáticas de ocurrencia que le corresponde a cada resultado o evento posible, los cuales al ser agrupados con otros resultados o eventos aleatorios similares forman una Población o Muestra que puede ser analizada desde la óptica estadística.
En síntesis, una distribución de probabilidad es un modelo teórico e ideal que, condicionado bajo ciertos datos o parámetros conocidos, sirve para representar la distribución de la probabilidad de ocurrencia que le corresponde a los distintos eventos o resultados aleatorios posibles que conforman una Población o Muestra analizada. Esto implica que no se debe perder de vista que todo modelo teórico no es más que una simplificación ideal de la realidad, y por tanto al trabajar con una determinada distribución de la probabilidad hay que tener en cuenta si la misma modela o no de forma correcta y aproximada el verdadero comportamiento aleatorio de los diferentes fenómenos que ocurren en el mundo real.

Variables Aleatorias Discretas y Variables Aleatorias Continuas:

Cuando matemáticamente se establece la existencia de una Población conformada por numerosos eventos posibles, aleatorios e independientes entre sí, entonces se afirma que una variable X es aleatoria si dentro de esa Población puede adoptar cualquier valor de los numerosos eventos que la conforman, lo cual también implica que la variable asume la respectiva probabilidad de ocurrencia existente para el evento adoptado. En este caso se dice que la Variable es Aleatoria porque su valor no es fijo ni conocido de antemano, sino que puede variar aleatoriamente en función a la manera como se distribuye la probabilidad de ocurrencia de los eventos dentro de esa Población analizada.
Al respecto en el campo del Cálculo de Probabilidades y en el campo de la Estadística se señala que existen dos tipos de Variables Aleatorias bien diferenciadas: las Variables Aleatorias Continuas y las Variables Aleatorias Discretas. Ambas implícitamente hacen referencia a dos modelos ideales distintos sobre la forma como se puede distribuir la probabilidad de ocurrencia de los eventos aleatorios.
Así, si en una Población de eventos se analiza una característica que al ser medida puede asumir infinitos valores intermedios ubicados entre cada valor entero significativo de la escala numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que la Variable Aleatoria X es Continua, porque en tal caso X puede asumir cualquiera de esos infinitos valores que se agrupan formando necesariamente un intervalo numérico continuo. Por ejemplo, en una ciudad cualquiera puede ser desconocida la manera como está distribuida la talla corporal entre todos sus habitantes, y en tal caso la variable X siempre será continua, ya que si se hace una medición exacta de la talla de algunos habitantes de la ciudad seleccionados al azar, entonces X podrá asumir infinitos valores ubicados en un intervalo numérico: un habitante puede medir 1.700 milímetros, otro puede medir 1.700,22 milímetros, otro quizá mida 1.700,51 milímetros, y otro 1.700,99 milímetros, etc. La variable X también es continua cuando se miden fenómenos tales como la cantidad de voltaje que consume un aparato, la cantidad de radiación que desprende un material radiactivo, la temperatura del medioambiente, la cantidad de lluvia o de nieve que caen en una región, el tiempo que necesita cada persona para completar una tarea, etc., porque en todos estos casos las mediciones de la variable no necesariamente adoptan valores enteros significativos (1, 2, 3, 4 ... etc.), sino que generalmente asumen los infinitos valores intermedios de un intervalo continuo: 1,145 ...1,502 ...1,666 ... 1,786...etc.
En cambio, si en una Población de eventos se analiza una característica que al ser medida sólo puede asumir un conjunto finito de valores enteros significativos de la escala numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que la Variable Aleatoria X es Discreta, porque en tal caso X sólo puede asumir valores numéricos aislados que se agrupan de forma escalonada y sin formar un solo intervalo continuo. Por ejemplo, en un ciudad cualquiera puede ser desconocida la manera como está distribuida la cantidad de hijos que tiene cada familia, y en este caso la variable X siempre será discreta, pues cada familia sólo puede tener 0, 1, 2, 3 o más hijos hasta llegar a cierto número entero finito, y por tanto la variable X sólo puede adoptar cualquiera de esos valores enteros finitos, pues en este caso resultaría absurdo e imposible afirmar que una familia puede tener «infinitas fracciones de hijos»: por ejemplo, tener 0,0002 hijos, o tener 1,23 hijos, o tener 2,08 hijos, o tener 6,26 hijos, o tener 3/4 de hijo, etc. La variable X también es discreta cuando se miden fenómenos tales como el número de nacimientos o de defunciones que ocurren anualmente, o el número de libros sobre la temática de la superación personal que hay en una biblioteca, o el número de televisores encendidos en los hogares de una ciudad a las 7:00 p.m., o la cantidad de personas que en un supermercado prefieren adquirir el producto Y en vez del producto Z, etc., porque en todos estos casos las mediciones de la variable X necesariamente adoptan valores enteros significativos y escalonados: 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... etc.

Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Continua:

Cuando una Población analizada está conformada por eventos aleatorios que al ocurrir pueden adoptar infinitos valores intermedios ubicados entre cada valor entero significativo de la escala numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que el comportamiento aleatorio de esa Población se rige por un modelo ideal de Distribución de Probabilidad Continua. Esto equivale a que los valores de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa Población al ser representados en un plano de coordenadas cartesianas siempre aparecerán unidos entre sí formando una línea continua (generalmente curva). En otras palabras, si en un plano de coordenadas cartesianas se ha representado una Distribución de Probabilidad Continua, que implica que la variable X puede adoptar cualquiera de los infinitos valores de los intervalos ubicados sobre el eje horizontal, entonces eso equivale a que la probabilidad de ocurrencia de la variable X también puede corresponder a cualquiera de los infinitos valores numéricos existentes entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable), así: 0,000001, o 0,000123, o 0,002345, o 0,060987, o 0,111111, o 0,398754, o 0,609821, o 0,999999, etc.
Como se observa en la anterior imagen, cuando se trata de una Distribución de Probabilidad Continua generalmente su representación gráfica corresponde a una línea curva continua, como ocurre con la denominada Campana de Gauss que sirve para representar la probabilidad de una variable aleatoria dentro de la denominada Distribución Normal de Probabilidad.
La anterior gráfica muestra que en una Distribución de Probabilidad Continua la variable aleatoria X puede adoptar infinitos valores sobre el eje horizontal, y por eso los valores correspondientes a la probabilidad de ocurrencia de X se representan mediante una línea curva continua como la de color verde que aparece en la gráfica. Si sobre el eje horizontal del gráfico la variable aleatoria X puede adoptar un determinado valor ubicado en el intervalo sombreado comprendido entre los puntos a y b, entonces la Distribución de Probabilidad Continua permite determinar con exactitud cuál es el respectivo valor de la probabilidad de ocurrencia que le corresponde a X dentro de ese intervalo delimitado por la línea curva continua de color verde, valor de probabilidad que siempre corresponderá a cualquiera de los infinitos valores ubicados entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable) 

Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Discreta:

Cuando una Población analizada está conformada por eventos aleatorios que al ocurrir sólo pueden adoptar valores enteros y significativos de la escala numérica (1, 2, 3, 4 ... etc.), entonces se dice que el comportamiento aleatorio de esa Población se rige por un modelo ideal de Distribución de Probabilidad Discreta. Esto equivale a que los valores de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa Población al ser representados en un plano de coordenadas cartesianas siempre aparecerán separados entre sí, de manera escalonada o con saltos entre un valor y el otro, sin formar una línea continua. En otras palabras, si en un plano de coordenadas cartesianas se representa una Distribución de Probabilidad Discreta, que implica que la variable X sólo puede adoptar cualquiera de los valores enteros y significativos ubicados sobre el eje horizontal de la gráfica, entonces eso equivale a que la respectiva probabilidad de ocurrencia de la variable X sólo puede corresponder a un único valor existente entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable).


Como se observa en la anterior imagen, en las Distribuciones de Probabilidad Discreta la variable X sólo puede adoptar un número finito de valores, y del mismo modo sólo existe un valor de probabilidad de ocurrencia específico para cada valor que adopta X. En esta gráfica sobre el eje horizontal se representan los 11 posibles puntajes que puede arrojar la sumatoria de los puntos de las caras de dos dados lanzados simultáneamente sobre una mesa (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), y si la variable X de forma aleatoria adopta cualquiera de esos finitos valores, entonces sobre el eje vertical le corresponde un único valor de probabilidad de aparición, sin que estos últimos valores puedan formar una línea continua entre sí, pues están distribuidos de manera escalonada y sin que importen los valores intermedios. De este modo, si la variable X sobre el eje horizontal adopta el puntaje 2 (equivalente a un «ojos de serpiente»), entonces a esa valor sólo le corresponde sobre el eje vertical un único valor de probabilidad de ocurrencia equivalente a: P = 1/36 = 0,0277 (de 36 combinaciones entre los puntos de los dos dados sólo hay una que produce el ojo de serpientes). Y si la variable X sobre el eje horizontal adopta el puntaje 3, entonces a ese valor le corresponde sobre el eje vertical un único valor de probabilidad de ocurrencia: P = 2/36 = 0,0555 (de 36 combinaciones entre los puntos de los dos dados sólo hay 2 que suman 3 puntos). No existe la posibilidad de que X sobre el eje horizontal asuma un valor intermedio ubicado entre el 2 y el 3, es decir, no puede asumir el valor 2,08 ó 2,1 ó 2,5 ó 2,99, etc., porque en este caso la distribución de la probabilidad alusiva a los resultados que pueden arrojar los dos dados se refiere a valores discretos que no se agrupan en un intervalo como ocurre en las distribuciones de probabilidad referentes a valores continuos

Diversos modelos ideales de Distribución de la Probabilidad:

Como ya se dijo al comienzo, una de las principales preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos ideales o teóricos de distribuciones de la probabilidad que puedan representar de forma aproximada el comportamiento de los diferentes fenómenos aleatorios que ocurren en el mundo real. Es por eso que existen varios modelos ideales de distribución de la probabilidad para asignarle valores de ocurrencia tanto a las variables discretas como a las variables continuas, y todos esos modelos intentan describir en términos matemáticos cómo es el «comportamiento aleatorio ideal» de esas variables dentro de los numerosos resultados que pueden arrojar determinados procesos o fenómenos físicos considerados aleatorios, ya sean procesos naturales o procesos artificialmente creados por el ser humano (lo que implica abarcar fenómenos espontáneos de la Naturaleza, los experimentos imperfectos de laboratorio, los juegos de azar, las máquinas tragamonedas, etc.).
Cada modelo ideal de Distribución de la Probabilidad se diferencia entonces no sólo por el tipo de fórmula que la define, sino además por el tipo de variables que puede emplear (discretas o continuas), por las condiciones o parámetros que usa para asignar la probabilidad de ocurrencia a cada variable, y por el tipo de fenómenos aleatorios del mundo real que idealmente pretende describir de la manera más aproximada posible. Así, entre las distribuciones de probabilidad propuestas para las variables discretas, las más importantes son: la Distribución Uniforme Discreta, la Distribución Binomial o de Bernoulli, la Distribución Binomial Negativa, la Distribución Geométrica, la Distribución Hipergeométrica y la Distribución Poisson. Y en el caso de las distribuciones de probabilidad propuestas para las variables continuas, las más importantes son: la Distribución Normal (o distribución de Gauss), la Distribución Uniforme Continua, la Distribución Gamma, la Distribución Beta, la Distribución Weibull, la Distribución Cauchy, la Distribución Exponencial, la Distribución LogNormal, la Distribución T-Student, la Distribución F de Snedecor y la Distribución Chi-Cuadrado.

Entender y aplicar una Distribución de Probabilidad no representa mayor complicación actualmente. En efecto, desde mediados de los años 80’s proliferan diferentes tipos de hojas de cálculo para los PC que permiten en cuestión de segundos calcular el valor de probabilidad de una variable discreta o de una variable continua dentro de una determinada distribución de probabilidad (Weibull, Beta, Binomial, Chi−Cuadrado, Exponencial, Gamma, etc.). En el caso de la hoja de cálculo Excel de Microsoft, ésta incluye guías y tutoriales de ayuda que le permiten al usuario calcular fácilmente el valor probable de una variable dentro de distintas distribuciones de probabilidad discreta o distribuciones de probabilidad continua. Estas hojas de cálculo constituyen una importante herramienta matemática para el jugador profesional y le permiten procesar estadísticamente en cuestión de segundos las series de resultados recolectados respecto de una determinada mesa de juego, para así calcular fácilmente cuáles son las probabilidades de ganancia existentes al apostarle a la expectativa de que un determinado comportamiento global del juego se mantendrá en las jugadas futuras.

FUENTES DE CONSULTA:


BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.
CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.
FREUND, John, y otros. Estadística matemática con aplicaciones. Prentice Hall, 1987.
GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.
HINKELMANN, Klaus, y KEMPTHOME, Oscar. Design and analysis of experiments. Wiley, New York, 2008.
THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 
TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.
WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Descriptive Statistics; Probability Distributions; Probability Theory; Random Variable; Statistical Theory.                 

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