Los científicos van más allá de simplemente registrar, medir y describir la aleatoriedad empírica observada en los juegos de azar o en experimentos imperfectos en el mundo real.

Modelos Teóricos e Ideales sobre la Distribución de la Probabilidad

Cuando en un juego de azar se realizan numerosas jugadas sucesivas o en un «experimento imperfecto» se efectúan numerosos ensayos consecutivos, se observa que los resultados o eventos posibles en estos contextos ocurren de manera «aleatoria». Esto se refiere a un comportamiento accidental, complejo o con grados de incertidumbre que impiden anticipar el resultado conforme a los postulados de la ciencia determinista. Además, estos resultados pueden adoptar una determinada frecuencia o distribución de ocurrencia y repetición a lo largo de una serie extensa de jugadas o ensayos.

 Desde el ámbito abstracto de las matemáticas, han propuesto Modelos Teóricos para representar idealmente las diversas maneras en que los diferentes resultados de un juego de azar o un experimento imperfecto deben aparecer o distribuirse a lo largo de una serie extensa de ensayos. Estos modelos ideales sobre la distribución de la aleatoriedad de los resultados son herramientas útiles para aproximarse descriptivamente al comportamiento real de los juegos de azar o experimentos imperfectos.

En otras palabras, los modelos teóricos sobre cómo deberían distribuirse los resultados de un juego de azar o experimento imperfecto son límites ideales construidos en el mundo matemático. Estos sirven como patrones o arquetipos para describir la probabilidad de ocurrencia de los numerosos resultados posibles, que al agruparse en una serie larga de ensayos consecutivos, conforman una Población o Muestra analizables estadísticamente. Estos modelos teóricos o límites ideales sobre la ocurrencia de resultados aleatorios se conocen como «Distribuciones de Probabilidad». A partir de ciertos datos o parámetros conocidos, permiten establecer una distribución en la ocurrencia o repetición de los distintos resultados o eventos posibles. Al establecer esta distribución, simultáneamente introducen la distribución de las probabilidades matemáticas de ocurrencia correspondientes a cada resultado o evento posible, los cuales al ser agrupados con otros resultados o eventos aleatorios similares forman una Población o Muestra que puede ser analizada estadísticamente.

En síntesis, una distribución de probabilidad es un modelo teórico e ideal que, condicionado bajo ciertos datos o parámetros conocidos, sirve para representar la distribución de la probabilidad de ocurrencia de los distintos eventos o resultados aleatorios posibles que conforman una Población o Muestra analizada. Esto implica que, al trabajar con una determinada distribución de probabilidad, es crucial considerar si el modelo teórico representa correctamente el comportamiento aleatorio de los fenómenos observados en el mundo real, ya que todo modelo teórico no es más que una simplificación ideal de la realidad.

Variables Aleatorias Discretas y Variables Aleatorias Continuas

Cuando matemáticamente se establece la existencia de una Población conformada por numerosos eventos posibles, aleatorios e independientes entre sí, se dice que una variable $X$ es aleatoria si dentro de esa Población puede adoptar cualquier valor de los numerosos eventos que la conforman. Esto también implica que la variable asume la respectiva probabilidad de ocurrencia existente para el evento adoptado. Se dice que la variable es aleatoria porque su valor no es fijo ni conocido de antemano, sino que puede variar aleatoriamente en función de la manera en que se distribuye la probabilidad de ocurrencia de los eventos dentro de esa Población analizada.

En el campo del Cálculo de Probabilidades y de la Estadística, se reconoce la existencia de dos tipos bien diferenciados de Variables Aleatorias: las Variables Aleatorias Continuas y las Variables Aleatorias Discretas. Ambos tipos implican dos modelos ideales distintos sobre cómo se puede distribuir la probabilidad de ocurrencia de los eventos aleatorios.

Variables Aleatorias Continuas

Si en una Población de eventos se analiza una característica que, al ser medida, puede asumir infinitos valores intermedios entre cada valor entero significativo de la escala numérica (1, 2, 3, 4, ... etc.), se dice que la Variable Aleatoria $X$ es Continua. En este caso, $X$ puede asumir cualquiera de esos infinitos valores que se agrupan formando un intervalo numérico continuo.

Por ejemplo, en una ciudad cualquiera, la distribución de la talla corporal entre sus habitantes es una variable continua. Si se mide la talla exacta de algunos habitantes seleccionados al azar, $X$ podrá asumir infinitos valores en un intervalo numérico: un habitante puede medir 1,700 milímetros, otro 1,700.22 milímetros, otro 1,700.51 milímetros, y así sucesivamente. Otros ejemplos de variables continuas incluyen la cantidad de voltaje que consume un aparato, la cantidad de radiación que desprende un material radiactivo, la temperatura ambiental, la cantidad de lluvia o nieve que cae en una región, y el tiempo que una persona necesita para completar una tarea. En todos estos casos, las mediciones de la variable no necesariamente adoptan valores enteros significativos, sino que generalmente asumen los infinitos valores intermedios de un intervalo continuo: 1.145, 1.502, 1.666, 1.786, etc.

Variables Aleatorias Discretas

Si en una Población de eventos se analiza una característica que, al ser medida, solo puede asumir un conjunto finito de valores enteros significativos de la escala numérica (1, 2, 3, 4, ... etc.), se dice que la Variable Aleatoria $X$ es Discreta. En este caso, $X$ solo puede asumir valores numéricos aislados que se agrupan de forma escalonada y sin formar un intervalo continuo.

Por ejemplo, en una ciudad cualquiera, la distribución de la cantidad de hijos por familia es una variable discreta, ya que cada familia solo puede tener 0, 1, 2, 3 o más hijos hasta cierto número entero finito. En este caso, sería absurdo e imposible afirmar que una familia puede tener fracciones de hijos: 0.0002 hijos, 1.23 hijos, 2.08 hijos, 6.26 hijos, o 3/4 de hijo. Otros ejemplos de variables discretas incluyen el número de nacimientos o defunciones que ocurren anualmente, el número de libros sobre superación personal en una biblioteca, el número de televisores encendidos en los hogares de una ciudad a las 7:00 p.m., y la cantidad de personas que prefieren un producto Y sobre un producto Z en un supermercado. En todos estos casos, las mediciones de la variable $X$ necesariamente adoptan valores enteros significativos y escalonados: 1, 2, 3, 4, etc.

Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Continua

Cuando una Población analizada está conformada por eventos aleatorios que, al ocurrir, pueden adoptar infinitos valores intermedios ubicados entre cada valor entero significativo de la escala numérica (1, 2, 3, 4, ... etc.), se dice que el comportamiento aleatorio de esa Población se rige por un modelo ideal de Distribución de Probabilidad Continua. Esto significa que los valores de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa Población, al ser representados en un plano de coordenadas cartesianas, aparecerán unidos formando una línea continua (generalmente curva).

En otras palabras, si en un plano de coordenadas cartesianas se representa una Distribución de Probabilidad Continua, que implica que la variable $X$ puede adoptar cualquiera de los infinitos valores de los intervalos ubicados sobre el eje horizontal, entonces la probabilidad de ocurrencia de la variable $X$ también puede corresponder a cualquiera de los infinitos valores numéricos entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable): 0.000001, 0.000123, 0.002345, 0.060987, 0.111111, 0.398754, 0.609821, 0.999999, etc.

La representación gráfica de una Distribución de Probabilidad Continua generalmente corresponde a una línea curva continua, como la Campana de Gauss, que sirve para representar la probabilidad de una variable aleatoria dentro de la Distribución Normal de Probabilidad. En una Distribución de Probabilidad Continua, la variable aleatoria $X$ puede adoptar infinitos valores sobre el eje horizontal, y los valores correspondientes a la probabilidad de ocurrencia de $X$ se representan mediante una línea curva continua. Si $X$ puede adoptar un valor dentro de un intervalo comprendido entre los puntos $a$ y $b$, la Distribución de Probabilidad Continua permite determinar con exactitud el valor de la probabilidad de ocurrencia que le corresponde a $X$ dentro de ese intervalo.

Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Discreta

Cuando una Población analizada está conformada por eventos aleatorios que, al ocurrir, solo pueden adoptar valores enteros y significativos de la escala numérica (1, 2, 3, 4, ... etc.), se dice que el comportamiento aleatorio de esa Población se rige por un modelo ideal de Distribución de Probabilidad Discreta. Esto significa que los valores de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que conforman esa Población, al ser representados en un plano de coordenadas cartesianas, aparecerán separados entre sí, de manera escalonada o con saltos entre un valor y otro, sin formar una línea continua.

En otras palabras, si en un plano de coordenadas cartesianas se representa una Distribución de Probabilidad Discreta, que implica que la variable $X$ solo puede adoptar cualquiera de los valores enteros y significativos ubicados sobre el eje horizontal, entonces la respectiva probabilidad de ocurrencia de la variable $X$ solo puede corresponder a un único valor existente entre 0 (Improbable) y 1 (Altamente Probable).

Comprendiendo las Distribuciones de Probabilidad Discreta

En una Distribución de Probabilidad Discreta, la variable $X$ solo puede adoptar un número finito de valores, y para cada valor que adopta $X$, existe un valor específico de probabilidad de ocurrencia. En la gráfica, el eje horizontal representa los 11 posibles puntajes que pueden resultar de la suma de los puntos de las caras de dos dados lanzados simultáneamente (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12). Si la variable $X$ adopta cualquiera de estos valores finitos de manera aleatoria, el eje vertical muestra el único valor de probabilidad de aparición correspondiente, distribuidos de manera escalonada sin formar una línea continua entre sí.

Por ejemplo, si la variable $X$ adopta el puntaje 2 (equivalente a "ojos de serpiente"), entonces le corresponde sobre el eje vertical un único valor de probabilidad de ocurrencia $P = \frac{1}{36} = 0.0277$. Esto se debe a que, de las 36 combinaciones posibles entre los puntos de los dos dados, solo una combinación produce el puntaje de 2. Si la variable $X$ adopta el puntaje 3, entonces le corresponde un valor de probabilidad de $P = \frac{2}{36} = 0.0555$, ya que solo hay dos combinaciones que suman 3 puntos.

No existe la posibilidad de que $X$ adopte un valor intermedio entre 2 y 3, como 2.08, 2.1, 2.5, o 2.99, ya que la distribución de probabilidad para los resultados de los dos dados se refiere a valores discretos que no se agrupan en un intervalo continuo.

En las Distribuciones de Probabilidad Discreta, cada valor que $X$ puede tomar está separado de los demás y no hay valores intermedios entre ellos. Esta característica las diferencia claramente de las distribuciones de probabilidad continua, donde los valores se agrupan en intervalos y pueden asumir cualquier valor intermedio dentro de esos intervalos.

Entender y Aplicar una Distribución de Probabilidad

Entender y aplicar una distribución de probabilidad no representa mayor complicación actualmente. Desde mediados de los años 80 proliferan diferentes tipos de hojas de cálculo para PC que permiten, en cuestión de segundos, calcular el valor de probabilidad de una variable discreta o continua dentro de una determinada distribución de probabilidad (Weibull, Beta, Binomial, Chi-Cuadrado, Exponencial, Gamma, etc.).

En el caso de la hoja de cálculo Excel de Microsoft, esta incluye guías y tutoriales de ayuda que permiten al usuario calcular fácilmente el valor probable de una variable dentro de distintas distribuciones de probabilidad discreta o continua. Estas hojas de cálculo constituyen una importante herramienta matemática para el jugador profesional, permitiéndole procesar estadísticamente en segundos las series de resultados recolectados respecto a una determinada mesa de juego. Así, pueden calcular fácilmente cuáles son las probabilidades de ganancia al apostar a la expectativa de que un determinado comportamiento global del juego se mantendrá en las jugadas futuras.

Esta accesibilidad y facilidad de uso han revolucionado el análisis estadístico, permitiendo tanto a profesionales como a aficionados aplicar complejos modelos de probabilidad sin necesidad de conocimientos avanzados en matemáticas.