La frecuencia con la que ocurre un evento gobernado por el azar se aproxima cada vez más a su probabilidad teórica, cuanto mayor es la cantidad de eventos que tenemos en cuenta en nuestro experimento.

La ley de los grandes números es un teorema fundamental de la teoría de la probabilidad que indica que, si repetimos muchas veces (tendiendo al infinito) un mismo experimento, la frecuencia de que suceda un cierto evento tiende a ser una constante.

Es decir, la ley de los grandes números señala que, si se lleva a cabo repetidas veces una misma prueba (por ejemplo, lanzar una moneda, tirar una ruleta, etc.), la frecuencia con la que se repetirá un determinado suceso (que salga cara o sello, que salga el número 3 negro, etc.) se acercará a una constante. Esta será, a su vez, la probabilidad de que ocurra este evento.

Origen de la ley de los grandes números La ley de los grandes números fue mencionada por primera vez por el matemático Gerolamo Cardamo, aunque sin contar con ninguna prueba rigurosa. Posteriormente, Jacob Bernoulli logró hacer una demostración completa en su obra “Ars Conjectandi” en 1713. En los años 1830’s, el matemático Siméon Denis Poisson describió con detalle la ley de los grandes números, lo que vino a perfeccionar la teoría. Otros autores también harían aportaciones posteriores.

Ejemplo de la ley de los grandes números Supongamos el siguiente experimento: lanzar un dado común. Ahora consideremos el evento de que nos salga el número 1. Como sabemos, la probabilidad de que salga el número 1 es de 1/6 (el dado tiene 6 caras, una de ellas es el uno). ¿Qué nos dice la ley de los grandes números? Nos indica que, a medida que vamos aumentando el número de repeticiones de nuestro experimento (hacemos más lanzamientos del dado), la frecuencia con la que se repetirá el evento (nos sale 1) se acercará cada vez más a una constante, que tendrá un valor igual a su probabilidad (1/6 o 16,66%). Posiblemente, en los primeros 10 o 20 lanzamientos, la frecuencia con que nos sale 1 no será del 16%, sino otro porcentaje como 5% o 30%. Pero a medida que hacemos más y más lanzamientos (digamos 10.000), la frecuencia en que aparece el 1 será muy cercana al 16,66%. En el siguiente gráfico, vemos un ejemplo de un experimento real en donde se lanza un dado repetidas veces. Aquí podemos ver cómo se va modificando la frecuencia relativa de sacar un determinado número.

Tal como indica la ley de los grandes números, en los primeros lanzamientos, la frecuencia es inestable, pero a medida que aumentamos el número de lanzamientos, la frecuencia tiende a estabilizarse a un cierto número que es la probabilidad de que ocurra el suceso (en este caso, números del 1 al 6 ya que se trata del lanzamiento de un dado).

Mala interpretación de la ley de los grandes números Muchas personas interpretan mal la ley de los grandes números, creyendo que un evento tenderá a compensar a otro. Así, por ejemplo, creen que dado que la probabilidad de que salga el número 1 en el lanzamiento de un dado debe ser cercana a 1/6, cuando el número 1 no aparece en los primeros 2 o 5 lanzamientos, es muy probable que aparezca en el siguiente. Esto no es cierto, pues la ley de los grandes números solo se aplica para muchas repeticiones, por lo que podemos estar todo el día lanzando un dado y no alcanzar la frecuencia de 1/6. El lanzamiento de un dado es un evento independiente y, por ende, cuando aparece cierto número, este resultado no afecta al próximo lanzamiento. Solo después de miles de repeticiones podremos comprobar que la ley de los grandes números existe y que la frecuencia relativa de que nos salga un número (en nuestro ejemplo el 1) será de 1/6. La mala interpretación de la teoría puede llevar a personas (sobre todo, jugadores de apuestas) a perder dinero y tiempo.

La probabilidad de que la bola caiga en un número en la ruleta americana es de 1/38 (hay 36 números + cero + doble cero), por lo que es una gran coincidencia cuando aparece el mismo número una y otra vez. En 1959, en Puerto Rico, se registró la racha más larga en el hotel San Juan, al ganar el número 10 en seis ocasiones seguidas. 35×35×35×35×35×35= 1,838,265,625.

La marca de caer en el mismo color en forma consecutiva se logró en Estados Unidos, al caer la bola 32 veces consecutivas en el rojo. Por su parte, el negro “solo” ha salido en 26 ocasiones seguidas y eso fue hace más de 100 años en el Casino de Montecarlo.

La ruleta más grande se encontró en el Casino Du Liban, en Líbano (2017). Se controla a distancia de forma electrónica, ya que tiene un área de 8.75 metros cuadrados y se ubica en el techo del salón.

En enero de 2017, el empresario Pedro Grendene Bartelle se llevó 3.5 millones de dólares después de jugar a la ruleta francesa en el Hotel Conrad en Uruguay. Es considerada como una de las mayores ganancias en la historia de este juego, luego de que la pelota se detuviera en el 32 rojo.

El inglés Ashley Revell tiene el récord de la mayor victoria en un solo giro: en 2004 apostó todos sus ahorros (135,300 dólares) en una sola jugada a que la bola caería en el rojo. Para su buena suerte, así fue y se fue a casa con más de 270,000 dólares.

• Un suceso aleatorio tendrá más probabilidades de suceder si no ha ocurrido en un lapso de tiempo.
• Un suceso aleatorio tendrá menos probabilidades de suceder si ha ocurrido en un cierto período.

“Falacia de Montecarlo”: es la creencia errónea de que si algo sucede con mayor frecuencia de lo debido durante un período determinado, la consecuencia será que en un futuro próximo esa frecuencia se reducirá al mínimo. De la misma manera, si algo sucede con menos frecuencia de lo normal durante cierto período, consecutivamente sucederá más frecuentemente en el futuro (por lógica se piensa que tiende a equilibrarse).

Bernoulli propuso estimar la probabilidad desconocida de un evento a partir de la frecuencia con que este se producía en un gran número de ensayos independientes, y demostró que esa estimación se acercaba más y más al valor real a medida que aumentaba el número de ensayos.